Dissertation Index

Author: Noll, Thomas

Title: Morphologische Grundlagen der abendlaendischen Harmonik (Morphological Foundations of Occidental Harmony)

Institution: Technical University of Berlin

Begun: October 1992

Completed: July 1995


The dissertation has been published in German as volume 7 of the series "Musikometrika," edited by Moisei Boroda, Universitaets Verlag Brockmeyer, Bochum 1997

The monograph presents a semiotic theory of occidental harmony. In contrast to the accoustical, resp. psychoacoustical approaches it consideres tones, chords, intervals and interval dichotomies as morphological objects. Following Guerino Mazzolas Mathematical Theory od Music the 12-tone system is interpreted as a torus whose internal symmetries - the 144 fractal tones - make it possible to define the morphological features of chords, as well as to characterize the prototypical representatives of tonal functions intesionally, resp. to reconstruct the full variety of possible representatives extensionally. It is demonstrated that the chords preferably used in the European music for a long period are especially rich in fractal tones. Further, the Fuxian and the Riemannian dichotomies of consonance and dissonance are algebraically and geomtrically reconstructed and related one to each other. A theory of the enharmonicity is suggested, making it possible to explain the interrelations between the three-dimensional tone system of "just tuned" octaves, fifths and thirds and the 12-tone system as its commutative deep structure.

Keywords: Mathematical Music Theory, Musical Semiotics, Functional Harmony, Consonance/Dissonance-Dichotomy, Enharmonicity, Fractal Tones, Fractal Chords, Tone Persectives, Harmonic Topology, Chord Neighborhood


I. Musikalischer Teil:

I.1 Tone und Intervalle
I.1.1 Vorbereitung
I.1.2 Der Torus der abstrakten Toene
I.1.3 Basistoene und das Intervallbuendel
I.1.4 Fraktale Toene
I.1.5 Die Konsonanz / Dissonanz - Dichotomie fuer Intervalle

I.2 Akkorde
I.2.1 Chorde und Chordklassen
I.2.2 Fraktale Akkorde
I.2.3 Endomorphismen

I.3 Funktionsharmonik: Versuch einer Rekonstruktion
I.3.1 Die Funktionmorpheme
I.3.2 Hauptdreiklaenge, Nebendreiklaenge und Medianten
I.3.3 Die Konsonanz / Dissonanz - Dichotomie fuer fraktale Toene
I.3.4 Repraesentanten der Dominante

I.4 Enharmonizitaet
I.4.1 Eine Autokomplementaritaetsfunktion im Eulermodul
I.4.2 Die Mutation
I.4.3 Enharmonizitaet als Unschaerferelation der Symmetriegruppe

II. Semiotischer Teil:

II.1 Syntaktik der Musik
II.1.1 Das Morrissche Programm
II.1.2 Syntaktik1: Formale Aspekte musikalischer Zeichen
II.1.3 Syntaktik2: Relationen zwischen musikalischen Zeichen
II.1.4 Syntaktik3: Komplexe musikalische Zeichen

II.2 Das harmonische Vokabular
II.2.1 Methodologische Ueberlegungen
II.2.2 Akkorde und Zusammenklaenge der traditionellen Harmonielehre
II.2.3 Zusammenklaenge bei Skrjabin
II.2.4 Zusammenklaenge bei anderen Komponisten

II.3 Morphologie der Funktionsharmonik
II.3.1 Der metamusikalische Status der Funktionstheorie
II.3.2 Das Riemannsche Programm und das Dahlhaussche Problem
II.3.3 Anwendung: Funktionsharmonik und Auffuehrungssimulation

II.4 Das geometrische Paradigma
II.4.1 Die Yoneda-Philosophie
II.4.2 Perspektiven in der Logik
II.4.3 Perspektiven im Kontrapunkt
II.4.4 Form und Prozessualitaet

III. Mathematischer Teil:

III.1 Affine Endomorphismen von Z12
III.1.1 Restklassen modulo 12
III.1.2 Die Idempotenzzerlegung

III.2 Akkordklassifikation
III.2.1 Konjugationsklassen musikalischer Halbgruppen
III.2.2 Konjugationsklassen von Chord-Endomorphismen

III.3 Bigenerische Halbgruppen
III.2.1 Systematik
III.2.2 Bigenerische (±)-Akkorde
III.2.3 Die Klassifikation musikalischer bigenerischer (±)-Akkorde

III.4 Strukturtheorie der Euleralgebra
III.4.1 Affine Endomorphismen des Eulermoduls
III.4.2 Euleralgebra und Exponentialfunktion
III.4.3 Kommutatoren und Kommutatorklassen von SL2(Z)


Tabellen: Die Klassenliste der Hüllakkorde


Dr.phil.Thomas Noll
Technische Universitaet Berlin Fax: (+4930) 314 21 116
Arbeitsstelle fuer Semiotik Telefon: (+4930) 314 25 403
Ernst-Reuter-Platz 7
Sekretariat TEL 16-1
D-10587 Berlin e-mail: noll@cs.tu-berlin.de

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